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New PDF release: Algebra [Lecture notes]

Posted On March 14, 2018 at 3:37 pm by / Comments Off on New PDF release: Algebra [Lecture notes]

By Eva Zerz

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Example text

Sei H eine p-Sylow-Untergruppe von G. Behauptung: H ist ein Normalteiler von G. W¨are H kein Normalteiler von G, so w¨are N (H) eine echte Untergruppe von G. 21 folgt, dass N (H) eine echte Untergruppe von N (N (H)) ist. Aber H ist ein Normalteiler von N (H) und eine p-Sylow-Untergruppe von N (H). 12), ist H die einzige p-Sylow-Untergruppe von N (H). Daher ist H charakteristisch in N (H). Sei g ∈ N (N (H)). Dann ist gN (H)g −1 = N (H). Dies liefert einen Automorphismus φ : N (H) → N (H), x → gxg −1 .

2 Sei U1 ein Normalteiler von G, und U2 charakteristisch in U1 . Dann gilt: 1. Auch U2 ist ein Normalteiler von G. 2. Ist U1 charakteristisch in G, dann auch U2 . Insbesondere: Die Relation “charakteristisch in” ist transitiv. Beweis: 1. Sei x ∈ G. Per Annahme ist einerseits die Konjugationsabbildung φx : U1 → U1 , y → x−1 yx ein wohldefinierter Automorphismus von U1 , und andererseits φx (U2 ) = U2 . Das bedeutet aber, dass U2 ein Normalteiler von G ist. 2. KOMPOSITIONSREIHEN 39 2. Sei φ ein Automorphismus von G.

G/ n i=1 Beweis: Zu g ∈ G gibt es gi ∈ Gi mit g = g1 · · · gn . Es ist φi : G → G/Ni , g → gi Ni ein wohldefinierter Gruppenhomomorphismus mit Ke(φi ) = Mi . Dann ist auch φ : G → G/N1 × . . × G/Nn , g → (g1 N1 , . . , gn Nn ) ein Gruppenhomomorphismus mit Ke(φ) = M1 ∩ . . ∩ Mn und Bi(φ) = G1 /N1 × . . × Gn /Nn . Der Homomorphiesatz liefert den Rest. Gilt Ni = {e} f¨ ur alle i, so ist φ injektiv. 54 KAPITEL 2. 6 Semidirekte Produkte Sei G eine Gruppe, N ein Normalteiler von G, und U eine Untergruppe von G.

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Algebra [Lecture notes] by Eva Zerz


by John
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